Question

设p是圆nbsp;x^2+(y-2)^2=1上的一个动点,Q为双曲线x^2-y^2=1上的一个动点,求|PQ|的最小值?|

Answer 1

设圆心是nbsp;A.首先，明确一点，|PQ|要想达到最小值，Pnbsp;一定在nbsp;AQnbsp;的连线上，因为，如果nbsp;Pnbsp;不在这条连线上，假设在nbsp;P‘nbsp;点，那么nbsp;AQnbsp;=nbsp;PAnbsp;+nbsp;PQnbsp;amp;lt;nbsp;P‘Anbsp;+nbsp;P‘Q，由于nbsp;PAnbsp;=nbsp;P‘Anbsp;,nbsp;PQnbsp;amp;lt;nbsp;P‘Q.以上说明了，只需求nbsp;AQnbsp;的最小值，AQnbsp;-nbsp;半径nbsp;，就是|PQ|的最小值了。下面求nbsp;nbsp;AQnbsp;的最小值。Anbsp;=nbsp;(0,nbsp;2)nbsp;,nbsp;AQ^2nbsp;=nbsp;x^2nbsp;+nbsp;(y-2)^2x,ynbsp;满足x^2-y^2=1nbsp;，nbsp;x^2nbsp;=nbsp;y^2nbsp;+nbsp;1AQ^2nbsp;=nbsp;y^2nbsp;+nbsp;1nbsp;+nbsp;y^2nbsp;-nbsp;4ynbsp;+nbsp;4nbsp;=nbsp;2y^2nbsp;-nbsp;4ynbsp;+nbsp;5nbsp;=2(y^2nbsp;-nbsp;2ynbsp;+nbsp;1)nbsp;+nbsp;3nbsp;=nbsp;2(y-2)^2nbsp;+nbsp;3nbsp;amp;gt;=nbsp;3AQnbsp;amp;gt;=nbsp;根3PQnbsp;amp;gt;=nbsp;根3nbsp;-nbsp;1