Question

如图，已知△ABC中，边BC上的高为AD，且∠B=2∠C。求证∶CD=AB+BD

Answer 1

延长
DB
至
E，使得
BE
=
AB，连
AE.
因为
AB
=
BE，所以
∠EAB
=
∠E，从而
∠ABC
=
2∠E.
又因为
∠ABC
=
2∠C，所以
∠E
=
∠C，因此
AC
=
AE.
而
∠ADE
=
∠ADC
=
90°，AD
=
AD，所以
△ADE≌△ADC，因此
CD
=
DE.
再利用
AB
=
BE，所以
CD
=
DE
=
BD+BE
=
BD+AB，即
CD
=
AB+BD.

Answer 2

在DC上作一点E，使DE=DB,
因为AD⊥BC，
则△ABE是等腰三角形，且AB=AE，
所以∠B=∠AEB
又∠B=2∠C
∠AEB=∠C+∠CAE,
所以2∠C=∠C+∠CAE，
即∠C=∠CAE，
所以EA=EC，
所以CD=CE+DE=EA+DB=AB+BD