Question

已知抛物线y^2=4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB,CD的中点分别为M,N

求证：直线MN必过定点 谢啦 急求...

Answer 1

抛物线y²=4x的焦点为F(1,0).
设过F的弦AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),
与抛物线y²=4x联立消去x得：k²x²-(2k²+4)x+k²=0,
X1+x2=(2k²+4)/ k²=2+4/ k².
所以中点M的横坐标为1+2/ k²，代入直线AB的方程y=k(x-1)可得
中点M的纵坐标为2/ k.∴M(1+2/ k²，2/ k).
将点M的坐标中的k换为-1/k即可得与弦AB垂直的弦CD的中点N的坐标：
N(1+2k²，-2k).

直线MN的斜率为(2/ k+2k)/[( 1+2/ k²)-(1+2k²)]=k/(1-k²).
所以直线MN的方程为y+2k= k/(1-k²)•[x-(1+2k²)].
化简得y= k/(1-k²) •x- 3k/(1-k²)
y= k/(1-k²) •(x- 3)
∴直线MN过定点(3,0).

Answer 2

必过点（3，0）
解：抛物线焦点为（p/2，0）即（1，0）
设过焦点的直线分别为y=a(x-1)和y=-1/a(x-1)
代入抛物线方程，设解分别为x1,x2,x3,x4,即与抛物线的四个交点。
则有x1+x2,x3+x4
再反代入直线方程，y1+y2，y3+y4
所以中点的直线MN必过（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即点（3,0)