Question

数列｛Xn｝中，X1>0，a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)。

Answer 1

强烈要求加分。
这个就是差分方程，关于他的解都有定论
Xn+1
-
根号a=1/2（根号Xn
-
根号（a/Xn））^2
Xn+1
+
根号a=1/2（根号Xn
+
根号（a/Xn））^2
(Xn+1
-
根号a)/(Xn+1
+
根号a)
=
[(Xn
-
根号a)/(Xn
+
根号a)
]^2
因此
(Xn
-
根号a)/(Xn
+
根号a)
=
[(X1
-
根号a)/(X1
+
根号a)
]^（2^(n-1)）
显然
|(X1
-
根号a)/(X1
+
根号a)|<1
那么
lim
（n趋于无穷）(Xn
-
根号a)/(Xn
+
根号a)
=lim
（n趋于无穷）
[(X1
-
根号a)/(X1
+
根号a)
]^（2^(n-1)）
=0
那么显然
lim
（n趋于无穷）Xn
=根号a

Answer 2

（1）x1>0,xn+1=1/2(xn+a/xn)(n=1,2...,a>0)
xn+1=1/2(xn+a/xn)=(xn^2+a)/2xn》2xn√a/2xn=√a
故xn》√a
n》2
数列有下界
又：x3-x2=1/2(x2+a/x2)-x2=(1/2)(a/x2-x2)=(a-x2^2)/(2x2)《0
x3《x2
而：xn+1-xn=1/2(xn+a/xn)-1/2(x(n-1)+a/x(n-1)
=(1/2)(xn-x(n-1))(xnx(n-1)-a)/xnx(n+1)
故xn+1-xn《0
xn单减有下界，极限存在
(2)x1=√2，xn+1=√(2xn)
x1=√2<2
xn+1=√(2xn)<√4=2
数列有上界2
又：x2=√(2x1)=√(2√2)>√2=x1
xn+1-xn=√2(√xn-√x(n-1))=√2(xn-x(n-1))/(√xn+√x(n-1))>√2(xn-x(n-1))/4，故xn+1-xn>0
xn单增有上界，极限存在