Question

数学题解答！急！

边长为10厘米的正方形的四角各截去一个相同的小正方形，折成无盖方盒，问截去的正方形边长多大时方盒容积最大？最大容积是多少？（求解答）🙏🏻

Answer 1

解析：
思路是尽量做成正方体时容积最大，
那么，10可以分成3+3+4=10
所以，截去的正方形边长是3厘米时，方盒的容积最大
最大容积是：4×4×3=48（立方厘米）

Answer 2

设截去的小正方形的边长为x，则折成的无盖方盒的底面边长为10-2x，高为x
所以，其容积V=x(10-2x)²……………………………………①
因为：4x+(10-2x)+(10-2x)=20≥3·[4x(10-2x)(10-2x)]^(1/3)
即：20≥3·[4x(10-2x)(10-2x)]^(1/3)
当且仅当4x=10-2x，即x=5/3时有最小值
则，4x(10-2x)²≤(20/3)³
代入①就有：当x=5/3时，Vmax=(1/4)·(20/3)³=2000/27

Answer 3

解：设截取正方形的边长为x cm

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则方盒高x cm，方盒底面积为(10-2x)^2 平方厘米

方盒容积=x*(10-2x)^2

=4x^3-40x^2+100x  (0＜x＜5)

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为求最值，对该函数求导，得12x^2-80x+100

令12x^2-80x+100=0

解得x_1=5/3    x_2=5（舍去）

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把x=5/3带入4x^3-40x^2+100x得

4*(5/3)^3-40*(5/3)^2+100*(5/3)

=2000/27

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∴截去的正方形边长为5/3厘米时，方盒容积最大，最大容积是2000/27立方厘米

Answer 4

x²（10-x）=y
x∈（0，10）
x（10x-x²）=y
x， 单调递增
10x-x²，开口向下，先增后减。
x=5最大。
v=5³㎝³

追问

大神，你写的这是什么答案啊？看不懂啊！不要这么简写，可以具体一点点吗？🙏🏻

追答

设新的正方形边长为x
则体积V=x²（10-x）
=x（10x-x²）
0<x<10
令f（x）=x，
在（0,10）区域单调递增
令F（x）=10x-x²
抛物线方程
顶点（5,25）
开口向下

Answer 5

设从四个角截去的小正方形的边长为x(cm); 那么折成的正方体的容积V:
V=x(10-2x)²=100x-40x²+4x³；
令dV/dx=100-80x+12x²=4(25-20x+3x²)=4(3x-5)(x-5)=0
故得注点 x₁=5/3；x₂=5；x₁是极大点；x₂是极小点；
故应取x=(5/3)cm，此时 maxV=(5/3)(10-10/3)²=2000/27=70.7cm³;