Question

当x∈(0,1)时,不等式x²<loga(x+1)恒成立 求a的取值范围

Answer 1

x²<loga(x+1)等价于loga（a^x²)<loga(x+1)
=>0<a<1
：a^x²>x+1；
a>1
：a^x²<x+1
0<a<1
a^x²>x+1
=>Ln（a^x²)>Ln(x+1)
=>
x²Lna>Ln(x+1),
=>Lna>Ln(x+1)/x²;
令f(x)=Ln(x+1)/x²;
求导
导函数
：
[x-2(x+1)Ln(x+1)]/[(x+1)x^3]
x∈(0,1)处
母
于0
求导
：-1-2Ln(x+1)
于0
递减函数
0代入
求
0
则
x∈(0,1)处
均
于0
所
f(x)
减函数
f(x)
值
x趋于0
值
穷
则a
能满足Lna>Ln(x+1)/x²
种情况
能
a>1
：a^x²<x+1
类似1.
：Lna<Ln(x+1)/x²
仍令f(x)=Ln(x+1)/x²
应求
f(x）
值
f(x）
减函数
带入x=1
值：Ln2
x取
1
则f(x)=Ln(x+1)/x²>Ln2,
故Lna<=Ln2
=>a<=2
所
a
取值范围
：
1<a<=2