Question

三重积分交换次序问题

Answer 1

三重积分也有积分次序的问题（共有6种次序），但由于积分区域的情形比平面区域复杂得多，交换次序是很麻烦的事情，所以三重积分里交换积分次序的问题是不要求的，只要知道有6种次序，并且能够从这6种次序里选择一种最容易计算的积分次序计算积分就行了。
交换积分次序的问题只在直角坐标下讨论，因为三个直角坐标地位完全平等。在其它坐标下，也是因为积分区域的表达会变得非常困难，我们就不讨论交换积分次序的问题了。
交换积分次序不是在做游戏，而是为了使我们计算积分简化，如果明明已经知道在某种次序下计算最方便，还要去考虑其它的次序，这是违背数学精神的，这也就是在其它坐标下不考虑积分次序的原因。
在极坐标下的积分次序总是：先对ρ，后对θ；
在柱面坐标下的积分次序总是：先对z（或x，或y），再对ρ，后对θ；
在球面坐标下的积分次序总是：先对r，再对φ，后对θ。

Answer 2

交换dy,dz时，x看做常数，那么在yoz直角坐标系中，y是从0到1-x,z是直线z=y+x，到z=1。所以，变换就是从Y型区域变为Z型区域，如图所示

三重积分也有积分次序的问题（共有6种次序），但由于积分区域的情形比平面区域复杂得多，交换次序是很麻烦的事情，所以三重积分里交换积分次序的问题是不要求的，只要知道有6种次序，并且能够从这6种次序里选择一种最容易计算的积分次序计算积分就行了。
交换积分次序的问题只在直角坐标下讨论，因为三个直角坐标地位完全平等。在其它坐标下，也是因为积分区域的表达会变得非常困难，我们就不讨论交换积分次序的问题了。
交换积分次序不是在做游戏，而是为了使我们计算积分简化，如果明明已经知道在某种次序下计算最方便，还要去考虑其它的次序，这是违背数学精神的，这也就是在其它坐标下不考虑积分次序的原因。

在极坐标下的积分次序总是：先对ρ，后对θ；
在柱面坐标下的积分次序总是：先对z（或x，或y），再对ρ，后对θ；
在球面坐标下的积分次序总是：先对r，再对φ，后对θ。