Question

已知数列{An}满足：a1=1，a2=2，a（n+2）=[an+a（n+1）]/2, 1，求通项公式

Answer 1

(1)2a(n+2)=an+a(n+1)；
∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]；
bn=a(n+1)-an；
∴2b(n+1)=-bn；
即b(n+1)/bn=-1/2；
∴{bn}是等比数列；
(2)b1=a2-a1=2-1=1；
∴{bn}是首项为1，公比为-1/2的等比数列；
∴bn=1×(-1/2)^(n-1)；
∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)；
∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)；
a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3)；
……
a2-a1=(-1/2)^0；
累加得：an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2)=[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]；
∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)×(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)×(-1/2)^(n-2)