Question

设f(x)在0，2上连续且可导，f(0)=1,f(2)+f(1)=2,证明：

Answer 1

f(x)在(0,1)上连续可导，则f'(x)在(0,1)上连续.
因为f(0)>0
f(1/2)<0
f(1)>0,那么在（0，1）内存在e
使f(x)在(0,e)上递减，而在（e，1）上递增。
根据在递增区间导数为正，在递减区间导数为负，因此
f'(x)在(0,e)上小于0，而在（e，1）上大于0
又因为f'(x)在e点连续，所以必有f'（e）＝0。

Answer 2

考察函数
F(x)
=
xf(x)，则
F(x)
在
[0，2]
上连续，在（0，2）内可导，
且
F(0)
=
0，F(1)*F(2)=2f(1)f(2)
=
-2
<
0，
因此由介值定理知，存在
a
∈(1，2)
使
F(a)
=
0，
由罗尔定理知，存在
ξ∈（0，a）∈（0，2）使
F'(ξ)=0，
即
ξf'(ξ)+f(ξ)
=
0
。（上式第二个
∈
应该是包含于，打不出来）