Question

已知函数f（x）=a㏑x-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与y=-½相切。 （1）

Answer 1

f(x)=a㏑x-bx²
f'(x)=a/x-2bx
在x=1处与y=-½相切
f'(1)=a-2b=0
(导数的几何意义)
f(1)=-b=-½
（点(1,-½)在曲线上）
∴a=1
b=½
(2)f(x)=lnx-½x²
f'(x)=1/x-x
驻点x=1
f''(x)=-1/x²<0
∴f(1)=-½是极大值
∴f(x)在[1/e,e]上的最大值为-½

Answer 2

解：(1)f*(x)=a/x-b，
∵函数f(x)在x=1处与直线相切，
∴f*(1)=a-2b=0,f(1)=-b=-1/2;a=1,b=1/2
(2)当b=0时，f(x)=alnx，
若不等式f(x)≥m+x对所有的都成立，
则alnx≥m+x对所有的都成立，
即m≤alnx-x对所有的都成立，
令h(a)=alnx-x，则h(a)为一次函数，m<=h(a)min，
∵x∈(1,e^2]，∴lnx＞0，
∴h(a)在上单调递增，∴h(a)min=h(0)=-x，
∴m≤-x对所有的x∈都成立，
∵1

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