Question

已知函数f(x)=x/1+x^2,求证：f(x)在(0,1)内是单调递增函数。

Answer 1

方法1：求导，得：y'=（1-x^2)/(1+x^2)^2,此式在0<x<1时，y'
>0,故单调递增函数
方法2：任取0<x1<x2<1,有y1-y2=(x1*x2-1)(x2-x1)/(1+x1^2)(1+x2^2)
由于x1*x2<1,x2-x1>o,故yi-y2<0,即y1<y2可知为单调递增函数

Answer 2

令0＜x1＜x2＜1
f（x1）-f（x2）=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)=(x1*(1+x2^2)-x2*(1+x1^2))/(1+x1^2)*(1+x2^2)
=(x1-x2)*(1-x1x2)/(1+x1^2)*(1+x2^2)
因为0＜x1＜x2＜1
所以x1-x2＜0，1-x1x2＞0
(1+x1^2)*(1+x2^2)＞0
可得(x1-x2)*(1-x1x2)＜0
f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
所以f(x)在(0,1)内是单调递增函数

Answer 3

经过导得F'(X)=-1/(X^2)+2X,在(0,1)内恒大于零,所以f(x)在(0,1)内是单调递增函数