Question

证明根号3是无理数

Answer 1

方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数
方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾

Answer 2

证明：假设√3不是无理数，而是有理数。
既然√3是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√3=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q
为既约分数,即最简分数形式。
把
√3=p/q
两边平方
得
3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由于3q^2是3的倍数数，p
必定3的倍数，设p=3m
由
23(q^2)=9(m^2)
得
q^2=3m^2
同理q必然也为偶数，设q=3n
既然p和q都是3的倍数，他们必定有公因数3，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√3是有理数引起的。因此√3是无理数。

Answer 3

反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数

Answer 4

用反证法
假设根号3是有理数，则必然能写成最简分数n/m,n与m为互质整数。
令 根号3=x
x的平方=3=n的平方/m的平方
3为正整数，同时也是有理数，n的平方与m的平方互质（由n与m为互质整数得出）即不存在公约数，则m的平方必为1（不然无法等于一个整数3） 3=n的平方=x的平方
推出根号3=x=n, 由于n为整数，则根号3也为整数，显然是不对的，所以
根号3为无理数