Question

已知函数.若函数的导函数是奇函数,求的值域;求函数的单调区间.

已知函数. 若函数的导函数是奇函数,求的值域; 求函数的单调区间.

Answer 1

由已知中函数我们易求出函数导函数的解析式,根据函数的导函数是奇函数,求出值后,结合指数函数的性质,即可得到的值域;
由已知中函数我们易求出函数导函数的解析式(含参数),分,两种情况进行分类讨论,即可得到函数的单调区间.
解:由已知得.
函数的导函数是奇函数.
,解得.故,,所以
由.
当时,恒成立,
当时,函数在上单调递减;
当时,由得,即,,
当时,在内单调递增,
在内单调递减.
故当时,函数在上单调递减;
当时,在内单调递增;在内单调递减.
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,函数的值域,其中的关键是根据函数的奇偶性的性质,求出参数的值,的关键是对参数进行分类讨论.