Question

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，f(0)=0,|f(x)导数|<=|f(x)|,证明在[0,1]上f(x)恒等于0

Answer 1

证明，|f(x)导数|<=|f(x)|，-f(x)<=f'(x)<=f(x),拉格拉日定理，得出
-f(x)<=f(x)/x<=f(x)，不妨考虑x>0,小于0同理。两边同乘x，-f(x)*x<=f(x)<=f(x)*x，(1+x)*f(x)>=0,因1>x>0显然f(x)>=o,右边，(1-x)*f(x)<=0,x<1,显然只有f(x)<=0，故f(x)=0；,x小于0同理可得。