求函数z=x^2+y^2在约束条件2x+2y=1下的极值
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利用拉格朗日乘数法求条件极值，
令L（x，y，λ）=x2+y2+λ（2x+2y-1）
得方程组
L′x＝2x+2λ＝0
L′y＝2y+2λ＝0
L′λ＝2x+2y-1＝0
解之得：x＝y＝
1
4
，
由题意知：当x＝y＝
1
4
时，z可能取到极值
1
8
．
再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x2+（
1-2x
2
）2，
F′（
1
4
）=0，且F″(
1
4
)＞0，
故函数z取得极小值为z（
1
4
，
1
4
）=
1
8
．
令L（x，y，λ）=x2+y2+λ（2x+2y-1）
得方程组
L′x＝2x+2λ＝0
L′y＝2y+2λ＝0
L′λ＝2x+2y-1＝0
解之得：x＝y＝
1
4
，
由题意知：当x＝y＝
1
4
时，z可能取到极值
1
8
．
再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x2+（
1-2x
2
）2，
F′（
1
4
）=0，且F″(
1
4
)＞0，
故函数z取得极小值为z（
1
4
，
1
4
）=
1
8
．
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