Question

如果f(x)在闭区间（-a,a）上连续，求证图片中的式子

Answer 1

只有连续条件，一般用换元。
将左边积分区间拆分(定积分符号不好打，我用∫(x~y)表示)
∫(-a~a)f(x)dx
=
∫（-a~0)f(x)dx
+
∫(0~a)f(x)dx
右边第二项已经和结论相同，右边第一项需要变换
令t=-x,x趋向-a时，t趋向a，x趋向0时，t趋向0
所以∫(-a~0)f(x)dx
=
∫(a~0)f(-t)d(-t)
=
-∫(a~0)f(-t)dt
=
∫(0~a)f(-t)dt(这步因为将上下限交换，负号抵消
)
=
∫(0~a)f(-x)dx(这步因为积分与变量无关，将t换成x)
所以∫(-a~a)f(x)dx
=
∫(0~a)f(x)dx
+
∫(0~a)f(-x)dx
=
∫(0~a)[f(x)+f(-x)]dx