Question

将函数fx=1/x在x=1处展开成幂级数，并指出展开式成立的范围

Answer 1

f(x)=1/x=1/[1+(x-1)]
根据展开公式
1/(1-x)=1+x+x²+…+x^n+…=∑x^n
【代入-(x-1)即可】
f(x)=1-(x-1)+(x-1)²+…+(-1)^n·(x-1)^n+…
=∑(-1)^n·(x-1)^n
展开式成立的范围为
-1＜-(x-1)＜1
即：0＜x＜2

Answer 2

根据对数换底公式lgx=lnx/ln10
常用展开式ln(1+x)=∑(1,∞)[(-1)^n-1·x^n]/n
成立区间(-1,1]
lgx=lnx/ln10=ln[1+(x-1)]/ln10
用(x-1)替换上面常用展开式中的x即可得到结果
成立区间-1＜x-1≤1
即(0,2]