Question

为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 1

逆命题是如果一个三角行斜边上的中线是斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
证明：一直三角形abc，d为斜边ac的中点，ad=dc=bd，求此三角形是直角三角形。
因为ad=bd、dc=bd，
所以角dab=角abd，角dbc=角dcb，
因为三角形内角和是180度，
所以角a+角b+角c=180度
即角dab+角abd+角dbc+角dcb=180度
2（角abc+角dbc）=180度
角abc=90度
所以三角形abc是直角三角形。

Answer 2

如图，

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD
∴∠BAD=∠BDA
∠C’AD=∠AC’D
（等边对等角）
又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D
=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90°
即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合
（也可用垂直公理证明
：假使C与C’不重合
由于CA⊥AB，C’A⊥AB
故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直
这就与垂直公理矛盾
∴假设不成立
∴C与C’重合）
∴DC=AD=BD
∴AD是BC上的中线且AD=BC/2
这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2：如图

ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE
∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线
∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE⊥AB
∴n是AB的垂直平分线
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴AD=CB/2
我是老师
谢谢采纳

Answer 3

求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知:⊿ABC中,CD为斜边AB上的中线.
求证:CD=AB/2.
证明;延长CD到E,使DE=CD,连接AE,BE.
又AD=DB,则四边形ACBE为平行四边形.(对角线互相平分的四边形为平行四边形)
又∠ACB=90°,则四边形ACBE为矩形,得AB=CE;
所以,CD=CE/2=AB

Answer 4

作AB垂直平分线交BC于D，AB于E，连接AD，所以DA=DB，垂直平分线定理
∠C=∠BDE，同位角
∠BDE=∠ADE，垂直平分线定理
∠ADE=∠DAC,，内错角定理
推出∠C=∠DAC
所以DA=DC，等腰三角形定理
跟据上面求证，DA=DB
所以DA=DB=DC
，
DB+DC=BC
DA=1/2BC