Question

三角函数起源

Answer 1

其实就是为了研究三角形中角的大小与边的大小的关系，这个研究非常有用，在实际的测量中经常会运用到，因为经常会遇到测量角的大小比较简便，而测量长度则非常困难的情况，比如要测量一座山的高度，直接测量必须要从山顶放铅垂线下来，那可怎么放呢？而测量到山顶的仰角则要简单不少。这个问题的研究经过古代几何学家艰苦卓绝的努力，最后化为正弦定理和余弦定理两个终极答案，彻底解决了三角形边长与角的大小的关系。当然，这个答案不可能一蹴而就，所以一开始是以研究一些特殊的三角形开始的，三角形中比较特殊的无非是等腰、等边、直角三角形，等边三角形角是固定的不方便研究，而等腰三角形显然可以化为两个直角三角形来研究，那么最重要的就是直角三角形的问题了。

如果这个关系是个很简单的关系，那么最后也不会有什么三角函数，直接写一条公式就行了，问题在于三角函数一般情况下是无法通过四则运算、乘开方计算出来的，既然没有闭形式表达的方法，那么无可奈何之下就只能给它一个函数的名字了，然后研究这些函数的和差、乘积的公式，通过特殊角的三角函数间接计算出更多的角度的函数值，中间值则通过插值的方法得到，然后编制成表格来使用。这些都是测绘、航海等领域实际需要使用的技术。

推导三角函数公式和计算数值的时候，正弦和余弦使用的最广泛（因为正弦定理和余弦定理）必须要有，而且这两个通常都是成对出现；正切的和差公式里都只包含正切，而且其他三角函数都可以完全用正切来表示（万能公式），这样用正切来做数值计算会有一定的优势。另外三个则是这三个函数的倒数，提前算出来就省得做除法了。

后来发现三角函数还有广泛得多的使用领域，以及它和指数函数的关系，这是后话了。