Question

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．

Answer 1

解：（1）∵y=3x+3，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3）．
（2）设抛物线的解析式为y=ax
2
+bx+c，由题意，得
{0=a-b+c3=c0=9a+3b+c，
解得{a=-1b=2c=3
∴抛物线的解析式为：y=-x
2
+2x+3
（3）∵y=-x
2
+2x+3，
∴y=-（x-1）
2
+4
∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），
1）当AQ=BQ时，由两点间的距离公式，得
(1-0)2+(a-3)2=22+a2，解得
a=1，
∴Q（1，1）；
2）当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，
∴(1-0)2+(a-3)2=10
解得：a=0或6
则Q的坐标是（1，0）或（1，6）；
3）当AQ=AB时，22+a2=10，解得a=±6，则Q的坐标是（1，6）和（1，-6）．

Answer 2

设抛物线方程为
y=ax^2+bx+c
由题意，抛物线过
A(-1,0)
,
B(0,3)
,
C(3,0)
三点
将三点坐标带入方程，解得
a=-1,
b=2,
c=3
即抛物线方程为
y=-x^2+2x+3
若使△ABQ为等腰三角形
1）△ABQ为以AB为底边的等腰三角形
则Q，必然在AB的垂直平分线上
AB中点坐标为（-1/2，3/2）
AB中垂线的斜率K
与AB斜率Kab存在如下关系
K·Kab=-1
，又Kab=3
所以K=-1/3
由点斜式方程得AB中垂线方程为：y-3/2=-1/3(x+1/2)
简化即：y=-1/3x+4/3
与y=-x^2+2x+3
联立得
3x^2-7x-5=0
△=49-4*3*(-5)=109>0
方程有解，解出即得Q点坐标
2）△ABQ是以A为顶点的等腰三角形
则AB=AQ
设Q点坐标为Xq,Yq
AB^2=1^2+3^2=10
由题意Q点为以A为圆心，AB为半径的圆与抛物线的焦点
设圆的坐标为(x+1)^2+y^2=10
代入y=-x^2+2x+3
求解即得Q点坐标
3）△ABQ是以B为顶点的等腰三角形,同2）

Answer 3

：（1）∵当x=0时，y=3，
当y=0时，x=﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
∵C（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
∴3=a×1×（﹣3），
∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；
（2）存在．
①∵抛物线的对称轴为：x=
=1，
∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1，
∵OA=OQ1，BO⊥AQ1，
∴“当Q1B=AB时，设Q（1，q），
∴1+（q﹣3）2=10，
∴q=0，或q=6，
∴Q（1，0）或Q（1，6）．
当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），
∴22+m2=12+（3﹣m）2，
∴m=1，
∴Q2（1，1）；
当Q3A=AB时，设Q3（1，n），
∴22+n2=12+32，
∴n=±
，
∴Q3（1，
），Q4（1，﹣
）．
∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，
），Q4（1，﹣
），Q5（1，6）．．