Question

已知方程ax²+(2a-1)x+a-1=0的两实数根满足x1＜0,且1＜x2＜2,求a的取值范围

Answer 1

ax²+(2a-1)x+a-1=0有两实根
∴△=(2a-1)²-4a(a-1)²>0
i)a=0时，不符
ii)a≠0时，f(x)=ax²+(2a-1)x+a-1
f(0)=a-1
f(1)=a+(2a-1)+a-1=4a-2
f(2)=4a+2(2a-1)+a-1=9a-3
画出图像，易得
f(0)，f(1)同号，f(2)异号
∴f(0)f(1)>0
f(0)f(2)<0（或f(1)f(2)<0）
联立，解得1/3<a<1/2
∴a∈(1/3,1/2)
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观察到ax²+(2a-1)x+a-1=(x+1)(ax+a-1)=0
∴x1=-1，x2=(1-a)/a
显然1<(1-a)/a<2
1<1/a-1<2
2<1/a<3
1/3<a<1/2

Answer 2

首先（2a-1）的平方－4a（a-1）＝1>0
其次两个根一个小于0
一个在1和2之间
（1-2a-1）/2a<0
得
a>0
1<（1-2a+1）/2a<2
得
1/2<a<2/3

Answer 3

可以把方程转化为函数做，令f(x)=ax²+(2a-1)x+a-1，那么题目意思变成求它与x轴交点满足x1＜0,且1＜x2＜2时候a的范围
首先，要有两不同解，那么Δ＞0，所以(2a-1)^2-4a(a-1)=4a^2-4a+1-4a^2+4a=1恒大于0
然后，分开口情况，就是a的范围
1）a＞0，开口向上，x1＜0，1＜x2＜2，画个图可以看出f(0)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0
那么a-1＜0，a+(2a-1)+a-1＜0，4a+4a-2+a-1＞0，并且a＞0，得出a∈(1/3，1/2)
2）a＜0，开口向下，那么画个图可以看出f(0)＞0，f(1)＞0，f(2)＜0，并且a＜0，得出a无解
综上所述，a的范围就是a∈(1/3，1/2)