Question

如何求证高中三角函数公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb (a,b分别是两个角)

Answer 1

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明
如图
我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
在标准圆中.AB为直径.长度为1
，取单位圆的两点C,D由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.
令角A为角BAC
角B为角DAC
则角(A-B)为角BAD
证明如下:
cos(A-B)=AD/AB=AD
①cosA=AC/AB=AC
②sinA=BC/AB=BC
③cosB=AE/AC
④sinB=CE/AC
联立①③可知
cosB=AE/cosA
即cosAcosB=AE.
所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB
又AD=AE+ED
即只要证明sinAsinB=ED即可
即要证明BC*CE/AC=ED
即要证明CE/AC=ED/BC
注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)
所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF
注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF
即可以证明CE/AC=EF/CF
即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB
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由sinθ=cos(-θ)

Answer 2

设锐角△ABC,过C作CD⊥AB交AB于D点,则
△ABC面积=AC*BC*sinC/2=CD*AB/2
AC*BC*sinC=CD*AB
sinC=(CD*AB)/(AC*BC)
sina=CD/AC,cosa=AD/AC,sinb=CD/BC,cosb=(AB-AD)/BC
sin(A+B)
=sin(180°-C)
=sinC
=(CD*AB)/(AC*BC)
=(CD*AB-CD*AD+CD*AD)/(AC*BC)
=[CD*(AB-AD)+CD*AD]/(AC*BC)
=(CD/AC)*[(AB-AD)/BC]+(AD/AC)*(CD/BC)
=sinA*cosB+cosA*sinB
如果是钝角△,证明原理相同,直角则更好证明.
cos(-B)=cosB,sin(-B)=-sinB
sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB
sin(A-B)
=sin[A+(-B)]
=sinA*cos(-B)+cosA*sin(-B)
=sinA*cosB-cosA*sinB