Question

已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数

Answer 1

∠APB＝150°。
［证明］
作∠PAQ＝60°，使PA＝QA且P、Q在AC的两侧。
∵PA＝QA＝3、∠PAQ＝60°，∴△APQ是
等边三角形
，∴∠AQP＝60°、PQ＝PA＝3。
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC、∠BAC＝60°。
∵∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴∠BAP＋∠CAP＝∠CAP＋∠CAQ，∴∠BAP＝∠CAQ。
由PA＝QA、AB＝AC、∠BAP＝∠CAQ，得：△BAP≌△CAQ，
∴PC＝QC＝4、∠APB＝∠AQC。
∵PQ＝3、QC＝4、PC＝5，∴PQ^2＋QC^2＝PC^2，∴∠PQC＝90°。
∴∠AQC＝∠AQP＋∠PQC＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AQC＝150°。

Answer 2

解：把△APB绕点A逆时针旋转60°到△AQC位置，连接PQ
则△APQ是等边三角形，∠AQP=60°，PQ=3，CQ=4，PC=5
所以△PQC是直角三角形，∠PQC=90°
所以∠APB=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°