Question

求x＝cos³t，y＝sin³t所围成的面积

Answer 1

该图形关于x轴与y轴均对称，下面只算第一象限，然后乘以4即可
S=4∫ydx
x：0-->1
其中y=sin³t，dx=dcos³t=-3(cost)^2sintdt
t：π/2-->0
S=-12∫(sint)^4(cost)^2dt
t：π/2-->0
=12∫(sint)^4(cost)^2dt
t：0-->π/2
注意到：∫
f(sint)dt=∫
f(cost)dt
t：0-->π/2（这是定积分换元法那里的一道例题）
S=12∫(sint)^4(cost)^2dt
t：0-->π/2
=6[∫(sint)^4(cost)^2dt+∫(sint)^2旦孩测绞爻悸诧溪超娄(cost)^4dt]
=6∫(sint)^2(cost)^2dt
=6/4∫(sin2t)^2dt
=3/4∫[1-(cos4t)]dt
=3/4[t-1/4(sin4t)]
t：0-->π/2
=3π/8

Answer 2

根据题意：
x^(2/3)+y^(2/3)=1
所以y=[1-x^(2/3)]^(3/2)
所以面积为：
s=∫(0,1)ydx=∫(0,1)[1-x^(2/3)]^(3/2)dx
再看看别人怎么说的。