Question

求解微分方程！内附题目

Answer 1

解：设S(t)为时刻t时桶内含盐的总量
则变化率S'(t)=注入盐的速度-流出盐的速度
∵注入盐的速度=2g/L*3L/min=6(g/min)
流出盐的速度=S(t)g/100L*2L/min=S(t)/50(g/min)
∴得微分方程S'(t)=6-S(t)/50，S(0)=50........(1)
先解齐次方程S'(t)+S(t)/50=0
==>d(S(t))/S(t)=-dt/50
==>ln│S(t)│=-t/50+ln│C│
(C是积分常数)
==>S(t)=Ce^(-t/50)
于是，设微分方程(1)的解是S(t)=C(t)e^(-t/50)
(C(t)是关于t的函数)
把它代入微分方程(1),得C'(t)=6e^(t/50)
==>C(t)=300e^(t/50)+C
(C是积分常数)
∴S(t)=300+Ce^(-t/50)
∵S(0)=50
∴C=-250
∴S(t)=300-250e^(-t/50)
∵S(30)=300-250e^(-3/5)≈300-250*0.5488=162.8
∴30min后桶内含盐量是162.8g

Answer 2

设x＝e^t，则代换原方程得y'''－2y''－3y'＝3e^（2t）........(1)
先求（1）齐次式特解：
∵特征方程r³-2r²-3r=0的解是r1=0，r2=-1，r3=3
∴（1）齐次式特解是
y=c1+c2e^（-t）+c3e^（3t），（c1，c2，c3是常数）
∵设（1）的一个特解为
y=ae^(2t)，
则把它代入（1）得
a=-1/2
∴（1）的一个特解为
y=-e^(2t)/2.
∴方程（1）的通解是
y=c1+c2e^（-t）+c3e^（3t）-e^(2t)/2......激肠馆段弋灯龟犬骇华...(2)
把x＝e^t代入（2）得
y=c1+c2/x+c3x³-x²/2。
故微分方程x^2y```+xy``-4y`=3x的解为：y=c1+c2/x+c3x³-x²/2，
（c1，c2，c3是常数）