Question

1/2+sinx的不定积分怎么算？

Answer 1

万能代换：令y = tan(x/2)，dx = 2dy/(1 + y²),sinx = 2y/(1 + y²)

∫ 1/(2 + sinx) dx

= ∫ [2/(1 + y²)]/[2 + 2y/(1 + y²)] dy

= ∫ 1/(y² + y + 1) dy

= (2/√3)arctan[(2tan(x/2) + 1)/√3] + C

= (2/√3)arctan[(2/√3)tan(x/2) + 1/√3] + C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。