Question

罗尔定理证明是什么？

Answer 1

证明如下：

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1、若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2、若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

注意罗尔定理要求的条件

如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数：f(x)=|x| x取值在[-a,a]。

虽然f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。因此就不存在 f'(ε)=0。