Question

有关双曲线离心率问题

Answer 1

y^2/a^2-X^2/b^2=1渐近线为y=±ax/b
先考虑y^2/a^2-X^2/b^2=1渐近线y=ax/b与抛物线y=x^2+1相切时情况
联立y=ax/b与y=x^2+1解得：x={a/b±√[(a/b)^2-4]}/2
即交点横坐标为x={a/b±√[(a/b)^2-4]}/2
对y=x^2+1两边x求导，y‘=2x
因为双曲线y^2/a^2-X^2/b^2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x^2+1相切，
所以交点处y=x^2+1斜率与y=ax/b斜率相等，即：{a/b±√[(a/b)^2-4]}=a/b，
从而a/b=2，a=2b，c^2=a^2+b^2=5b^2，c=√5b
双曲线的离心率e=c/a=√5b/2b=√5/2。
y^2/a^2-X^2/b^2=1渐近线y=-ax/b与抛物线y=x^2+1相切时也可算出双曲线的离心率e=√5/2。

Answer 2

以焦点在x轴上为例
(±a,0)是实轴顶点,也就是双曲线与坐标轴的交点
(±b,0)是虚轴顶点
(±c,0)是焦点坐标
它们的关系满足a^2+b^2=c^2
离心率e=c/a
有这些信息应该足够推出结论了
我没法在这里给你画图,所以不好说明,不过你自己肯定可以推出来,不难
我感觉,这题的研究方法就像控制变量法一样
你先找张稿纸,画图
方法是先找几个特殊的数值来画
双曲线作图的关键是要画出渐近线,渐近线的方程是y=±(b/a)x,把他画出来,双曲线的大致图像就能确定了
你所说的开口变大或变小,就是由渐近线的位置决定的,也就是说渐近线的斜率(b/a)的变化会影响双曲线开口的大小
但(b/a)和离心率(c/a)似乎没有绝对的联系