Question

如何用向量内积公式证明柯西积分不等式证明

Answer 1

Cauchy不等式的形式化写法就是：

记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2。 

令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 

则恒有 f(x) ≥ 0。 

用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0。 

于是移项得到结论。

还可以用向量来证。 

m=(a1,a2。an) n=(b1,b2。bn) 

mn=a1b1+a2b2+。+anbn=(a1^+a2^+。+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+。+bn^)^1/2乘以cosX。 

因为cosX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+。+anbn小于等于a1^+a2^+。+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+。+bn^)^1/2 

这就证明了不等式。

柯西不等式还有很多种方法证,这里只写出两种较常用的证法。

Answer 2

柯西不等式是由柯西(cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
一般形式:　　(∑ai^2)(∑bi^2)
≥
(∑ai·bi)^2　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
向量形式:　　|
α
||
β
|≥|
α
·
β
|，
α
=(a1,a2,…,an)，
β
=(b1,b2,…,bn)（n∈n，n≥2）　　等号成立条件：
β
为零向量，或
α
=λ
β
（λ∈r）。