Question

计算题：导数或微积分

见下图 谢谢

Answer 1

答：
1.
0
因为被积函数是个定积分，定积分出来的肯定是常数。所以对常数求导是0。
2.
1/3
若直接将0代入，则分子积分区域是0到0，既是0，则式子为0/0的形式。
故用洛必达法则,直到不是0/0形式为止。
原式
=limx->0
sinx^2/3x^2
=limx->0
2xcosx^2/6x
约分得=limx->0
cosx^2/3
=1/3
3.
1
与上题同理。
原式
=limx->0
(cosx)^2/1
=1
4.
sinx^2
设f(t)=sint^2的原函数是F(t),则分子定积分出来的结果是F(x)-F(0)
d(F(x)-F(0))/dx=dF(x)/dx+dF(0)/dx=f(x)+0=f(x)=sinx^2
5.
ln(x^2+1)
与上题同理。
6.
2/(2x-1)
y'=[ln(1-2x)]'=1/(1-2x)*(1-2x)'=-2/(1-2x)=2/(2x-1)
分步求导，[f(g(x))]'=f'(g(x))*[g(x)]'=f'(g(x))*g'(x)
7.
e^x/(1+e^(2x))
dx
df(x)=d(arctan(e^x))
=1/(1+(e^x)^2)*d(e^x)
=e^x/(1+e^(2x))
dx
(或写成
1/(e^-x+e^x)dx)
8.
2x(x+1)e^(2x)
与第4题差不多设F(x)是f(x)的原函数，则F(x)=∫f(x)dx
所以F'(x)=f(x)=(∫f(x)dx)'=(x^2e^(2x)+C)'=2xe^(2x)+2x^2e^(2x)
=2x(x+1)e^(2x)
9.
e^y/(1-y)
由y-xe^y=0得x=y/e^y=ye^(-y)
dx/dy=e^(-y)-ye^(-y)=(1-y)/e^y
所以dy/dx=e^y/(1-y)
10.
-e^(-x)f'(e^(-x))dx
dy=df(e^(-x))
=f'(e^(-x))d(e^(-x))
=-e^(-x)f'(e^(-x))dx
希望以上方法对你有所启发。