Question

在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a，b，c，且1+tanA/tanB=2c/b。

1、求角A。 2、设BC中点为D，若a=根号3，求AD的最大值 。

Answer 1

(1)
1+tanA/tanB
=1+(sinAcosB)/(cosAsinB)
=(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAsinB)
=sin(A+B)/(cosAsinB)
=sinC/(cosAsinB)
根据正弦定理，sinC/sinB=c/b
c/(b*cosA)=2c/b
cosA=1/2
A=60度
(2)
AD^2+BD^2-2AD*BD*cosBDA=AB^2
AD^2+CD^2-2AD*CD*cosCDA=AC^2
两式相加
2AD^2+3/2=c^2+b^2
又:
c^2+b^2-2cb*cos60=a^2=3
c^2+b^2-cb=3
c^2+b^2-cb>=c^2+b^2-(c^2+b^2)/2
3>=(c^2+b^2)/2
c^2+b^2<=6
2AD^2+3/2<=6
AD^2<=9/4
AD<=3/2
最大值为3/2