Question

函数的问题？

Answer 1

把函数拆成2个
y1=根号下(x^2+1)
y2=ax
y1^2-x^2=1(y1≥0,x>0)
是一个以X轴为对称轴的双曲线的右上部分且递增
渐进线方程是y=x
因为F(x)在区间0到正无穷上是单调函数因为函数的前半部分递增
且越增越快,斜率的最大值无限趋近1
所以要单调,只能y=ax的斜率大于等于1
即a≥1
这题在后半部分有点导数的思想...
但是在这题中主要用的数形结合的方法...是很有用的,强力推荐^.^
求导：x/(x^2+1)^(1/2)-a
单调函数，则导函数大于等于0，或者小于等于0恒成立。
x趋于0时，导函数=-a<0，
故导函数必须小于等于0
即求x/(x^2+1)^(1/2）的最大值
x/(x^2+1)^(1/2)=1/(1+1/x^2)^(1/2)<1
故a>=1即可。
我的第一种方法最简单，若你都不采纳，可用定义去做
设m为任意正数，则f(x+m)-f(x)=[√(（x+m)^2+1)-√（x^2+1)]-am=(2mx+m^2)/[[√（x^2+1)]+[√（(x+m)^2+1)]]-am(利用分子有理化,即分子分母同乘以[√（x^2+1)]+[√（(x+m)^2+1)],之后化简得到)
当a>=1时
又因为x>=0,所以前一项中分母大于2x+m故前一项小于（2mx+m^2）/(2x+m)即m，故f(m+x)-f(x)<m-am<0所以f(x)在[0，+∞）为单调减函数；

Answer 2

设g(X)=[f(x)+1]/e^ⅹ，
∵f(X)+1<f′(X)，则f′(x)-f(X)-1﹥0，
∵g′(X)=[f′(X)-f(x)-1]/e^x，
∴g′(x)﹥0，
∴g(ⅹ)在R上单调递增，
且g(0)=3，
由f(Ⅹ)+1﹥3e^x得:
[f(x)+1]/e^ⅹ﹥3，即
g(x)>g(0)，
∴ⅹ﹥0，
故所求解集为(0，+∞)，
选择答案为C。