Question

抛物线Y^2=2PX(P＞0)的焦点为F，其准线经过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞b＞0)

的左顶点，点M为这两条双曲线的一个交点，且IMFI=2p，则双曲线的离心率为

Answer 1

e=√10/2.
由抛物线与双曲线的性质，p=2a,
直线MF的倾斜角为60º，直线MF:y=√3(x-a)代入抛物线方程
y²=2px=4ax,
得3x²-10ax+3a²=0,
x=a(舍),
x=3a，y=2√3a,
M(3a,
2√3a)
代入双曲线方程，得9
-
12a²/b²=1,
∴3a²=2b²=2(c²-a²),
2c²=5a²,
∴e=√10/2,