Question

矩阵 求行列式平方和

已知|X|=D,D>0 求行列式X各个元素平方和的最小值。 今天收到了京都大学的硕士入学通知书。 我在此感谢爱问上给予我帮助的各位老师们。 山路水桥，zhh2360，尚理等老师，谢谢你们的帮助。 题目是京大的考试题。

Answer 1

1。
设A=X^tX，则显然A为正定矩阵。
因此A的特征值λ(1),λ(2),...,λ(n)都是正数。
而λ(1)*λ(2)*...*λ(n)=|A|=D^2.
2。
我曾给你的一个问题的回答中有下面结论：
行列式X各个元素平方和=TrA,
另外TrA=λ(1)+λ(2)+...+λ(n)
==》
行列式X各个元素平方和=λ(1)+λ(2)+...+λ(n)≥
≥n[λ(1)*λ(2)*...*λ(n)]^(1/n)=nD^(2/n)
3。
当X=D^(1/n)E时，
行列式X各个元素平方和=nD^(2/n).
所以行列式X各个元素平方和的最小值=nD^(2/n).
京都大学不错，祝贺cutejvjv。