Question

高中数学难度题求解

Answer 1

解答如图

Answer 2

（1）证明：∵AF∥MNG∴AF∥GN
∵ABCD⊥ABEF∴AF丄ABCD
∴NG丄ABCD∴NG⊥AB
设BN=CM=m，BG=GN=a，
∴AM=AC-MC=√2-m，AG=1-a
∵NG∥AF∴<BGN=<BAF=90度，<BFA=<BNG=45度
∴<NBG=45度
在Rt△BNG中，<BNG=<GBN=45度
∴BN^2=2BG^2，m=√2a
∴AM=√2-√2a=√2（1-a）
∵在△AMG中，AM=√2（1-a），AG=1-a，<MAG=45度
∴MG^2=AM^2+AG^2-2AM×AG×cos丌/4，即MG=1-a
∵MG=1-a，AG=1-a，AM=√2（1-a）
∴<MGA=丌/2
∴MG丄AB
∵NG⊥MG
∴MG丄ABEF

Answer 3

第(2)小题
在平面MGN内，过G作GH⊥MN，交MN于H，连接AH、BH
∵MG⊥平面ABEF，GN在平面ABEF内
∴MG⊥GN
所以，MN²=GN²+MG²=a²+(1-a)²=2a²-2a+1(0<a<1)
当且仅当a=1/2时，MN有最小值√2/2
此时G为AB的中点，GH=MG×GN/MN=√2/4
∵AF//平面MNG，平面ABEF∩平面MNG=GN
∴AF//GN
又∵AG⊥AF
∴AG⊥GN
又∵AG⊥MG
∴AG⊥平面GMN
∴GH为AH在平面MNG上的射影
∵GH⊥MN
∴AH⊥MN
同理，BH⊥MN
∴∠AHB为二面角A-MN-B的平面角
∵AG=GB，GH公用，∠AGH=∠BGH=90°
∴△AGH全等于△BGH
∴∠AHB=2∠AHG
tan∠AHG=AG/GH=(1/2)/(√2/4)=√2
cos²∠AHG=1/(1+tan²∠AHB)=1/3
故cos∠AHG=√3/3
∴cos∠AHB=2cos²∠AHG-1=-1/3
即二面角A-MN-B的余弦值为-1/3