Question

积分π,,负πcoskxdx

高数定积分 设k l为正整数,且k不等于l 证明∫π －π coskxsinlxdx＝0 ∫π
高数定积分
设k l为正整数,且k不等于l
证明∫π －π coskxsinlxdx＝0
∫π －π coskxsinlxdx＝0
∫π －π sinksinlxdx＝0

Answer 1

可以考虑积化和差公式，详情如图所示

Answer 2

”π －π ”指的应该是积分上限为"π”,下限为"－π"吧.这三个公式是三角函数系的一部分,体现的是正交性.第一个式子是奇函数,积分域关于原点对称,∫π －π coskxsinlxdx＝0
.第三个式子可以用积化和差公式∫π －π sinksinlxdx = (1/2) ∫π －π {cos[(k-l)x]-cos[(k+l)x]}dx =(1/2) ∫π －π cos[(k-l)x]dx － (1/2) ∫π －π cos[(k+l)x]dx .积分区间的长度等于 2π,是cos[(k-l)x]和cos[(k+l)x]的周期的整数倍,所以两项的积分都为零,命题得证.