Question

等比数列{an}的各项均为正数，2a4，a3，4a5成等差数列，且a3=2a22...

等比数列{an}的各项均为正数，2a4，a3，4a5成等差数列，且a3=2a22． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=2n+5(2n+1)(2n+3)an，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（本小题满分14分）
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，依题意，有a3=2a4+4a52a3=2a22.即a3=a4+2a5a3=2a22.…（2分）
所以a1q2=a1q3+2a1q4a1q2=2a12q2.…（3分）
由于a1≠0，q≠0，解之得a1=12q=12或a1=12q=-1…（5分）
又a1＞0，q＞0，所以a1=12，q=12，…（6分）
所以数列{an}的通项公式为an=(12)n（n∈N*）．…（7分）
（2）解：由（1），得bn=2n+5(2n+1)(2n+3)•an=2n+5(2n+1)(2n+3)•12n．…（8分）
所以bn=(22n+1-12n+3)•12n=1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n．…（10分）
所以Sn=b1+b2+…+bn=(13-15•2)+(15•2-17•22)+…+[1(2n+1)2n-1-1(2n+3)2n]=13-1(2n+3)2n．
故数列{bn}的前n项和Sn=13-1(2n+3)2n．…（14分）