Question

[高等数学]:微分方程,二元极限解一个微分方程:(x^2+xy)dx-y^2dy...

[高等数学]:微分方程,二元极限 解一个微分方程: (x^2+xy)dx-y^2dy=0 讨论函数在点(0.0)的重极限与累次极限: f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy) 做出来再加50分

Answer 1

第一道题并不是难,而是计算比较麻烦,第二道题稍微难些
由(x²+xy)dx-y²dy=0
化为
dy/dx=(x/y)²+x/y
(1)
设y/x=u
y=ux
则dy/dx=u+xdu/dx
代入(1)整理得到
u²du/(1+u-u^3)=dx/x
右边容易积分,左边就比较麻烦
需要一元三次方程的求根公式和一些高等代数的知识,我假设你已经了解
对于u²/(1+u-u^3)
先分解分母并乘以-1
对于u^3-u-1,根据试根法,容易发现其没有有理根
只能用根的公式直接求了.根据一元三次方程的求根公式u1,u2,u3
知道
设s=三次根号下[(9+√69)/18]
t=三次根号下[(9-√69)/18]
u1=s+t
u2=sω+tω²
u3=sω²+tω
其中ω=-1/2+√3i/2
其中i是纯虚数,i²=-1
这样u^3-u-1=(u-u1)(u-u2)(u-u3)
容易知道(u-u2)(u-u3)=u²+(s+t)u+s²-st+t²
这样的表达比较麻烦,我不妨将上式设为
(u-u2)(u-u3)=u²+bu+c
该式子在有理数域上显然是无法分解的,故不可约
u1=a
这样u²/(1+u-u^3)=u²/(u-a)(u²+bu+c)
设u²/(u-a)(u²+bu+c)=p/(u-a)-(mu+n)/(u²+bu+c)
p,m,n为未知参量
对于上式右边合并整理后对比可以得到
p=-(ab+c)/(a²+ab+c)
m=a²/(a²+ab+c)
n=-ac/(a²+bc+c)
这样p,m,n就为已知量了
下面就是认真仔细的积分的问题了
∫[p/(u-a)]du=pln|u-a|+k1
∫[(mu+n)/(u²+bu+c)]du=(m/2)∫[(2u+b)/(u²+bu+c)]du-[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]∫{1/[[(1/√(c-b²/4))(u+b/2)]²+1]}d[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)+k2
其中k1,k2为常数
这样
u²du/(1+u-u^3)=dx/x两边同时积分得到方程的通解
pln|u-a|+(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c为已知量,k为常数
由于u=y/x
则最后通解为
pln|y/x-a|+(m/2)ln|y²/x²+by/x+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](y/x+b/2)
=ln|x|+k
其中p,m,n,a,b,c为已知量,k为常数
我补充说明一下,p,m,n,a,b,c根据前面所设所求都可以顺次求出具体的数值,由于非常麻烦,我都略去,希望你能自己求出结果,我只是说出这个题目的大概思路.已知函数f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)
在点(0,0)
累次极限
由于无论是x→0还是y→0的时候
f(x,y)的累次极限显然都不存在
重极限
可以使用如下技巧,假设,f(x,y)延y=kx
(k为常数)趋向于(0,0)时
f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)=(e^x-e^kx)/sin(kx²)
显然,当x→0时,limf(x,kx)不存在
所以f(x,y)的重极限也不存在