Question

15.在边长为4的正方形abcd中,m,n分别为cd,ad的中点,p为边ab上的一个动点,则mn

（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点， Q 为边 CD 上一动点，设 DQ ＝ t （0≤ t ≤2），线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD 、 BC 于点 M 、 N ，过 Q 作 QE ⊥ AB 于点 E ，过 M 作 MF ⊥ BC 于点 F ． （1）当 t ≠1时，求证：△ PEQ ≌△ NFM ； （2）顺次连接 P 、 M 、 Q 、 N ，设四边形 PMQN 的面积为 S ，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值．

Answer 1

（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ D ＝90°， AD ＝ AB ∵ QE ⊥ AB ， MF ⊥ BC ∴∠ AEQ ＝∠ MFB ＝90° ∴四边形 ABFM 、 AEQD 都是矩形 ∴ MF ＝ AB ， QE ＝ AD ， MF ⊥ QE 又∵ PQ ⊥ MN ∴∠ EQP ＝∠ FMN 又∵∠ QEP ＝∠ MFN ＝90° ∴△ PEQ ≌△ NFM ． （2）∵点 P 是边 AB 的中点， AB ＝2， DQ ＝ AE ＝ t ∴ PA ＝1， PE ＝1－ t ， QE ＝2 由勾股定理，得 PQ ＝ ＝ ∵△ PEQ ≌△ NFM ∴ MN ＝ PQ ＝ 又∵ PQ ⊥ MN ∴ S ＝ ＝ ＝ t 2 － t ＋ ∵0≤ t ≤2 ∴当 t ＝1时， S 最小值 ＝2． 综上： S ＝ t 2 － t ＋ ， S 的最小值为2． 略