已知a+b+c=0,a 2 +b 2 +c 2 =4,那么a 4 +b 4 +c 4 的值等于___.
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∵a+b+c=0,
∴(a+b+c) 2 =0,即a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=0,
∴a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ca)=0,①
∵a 2 +b 2 +c 2 =4,②
把②代入①,得
4+2(ab+bc+ca)=0,
解得,ab+bc+ca=-2;
∵a 4 +b 4 +c 4 =(a 2 +b 2 +c 2 ) 2 -2(a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 )=(a 2 +b 2 +c 2 ) 2 -2[(ab+bc+ac) 2 -2abc(a+b+c)],
ab+bc+ca=-2,a+b+c=0,
∴a 4 +b 4 +c 4
=16-2×[(-2) 2 -0]
=8.
故答案为:8.
∴(a+b+c) 2 =0,即a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=0,
∴a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ca)=0,①
∵a 2 +b 2 +c 2 =4,②
把②代入①,得
4+2(ab+bc+ca)=0,
解得,ab+bc+ca=-2;
∵a 4 +b 4 +c 4 =(a 2 +b 2 +c 2 ) 2 -2(a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 )=(a 2 +b 2 +c 2 ) 2 -2[(ab+bc+ac) 2 -2abc(a+b+c)],
ab+bc+ca=-2,a+b+c=0,
∴a 4 +b 4 +c 4
=16-2×[(-2) 2 -0]
=8.
故答案为:8.
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