Question

分别用二分法和牛顿迭代法求解方程x3 – 3x – 1 = 0在x = 2附近的实根

Answer 1

编写程序，分别用二分法和牛顿迭代法求解方程x3 – 3x – 1 = 0在x = 2附近的实根，要求计算精确到小数点后七位数字为止，并将求出的近似结果与理论值2cos20 相比较，二分法的初始迭代区间为 [1, 3]。

任取两点x1和x2,判断(x1,x2)区间内有无一个实根。如果f(x1)和f(x2)符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根。取（x1，x2）的中点x，检查f(x)与f(x1)是否同符号，如果不同号，说明实根在（x,x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了。然后用同样的办法再进一步缩小范围。再找x1与x2（x2=x）的中点“x”，并且再舍弃其一半区间。如果f（x）与f(x1)同号，则说明根在（x,x2）区间，再取x与x2的中点，并舍弃其一半区间。用这个办法不断缩小范围，直到区间相当小为止。

用牛顿迭代法求f(x)=0在x0附近的一个实根的方法是

（1） 选一个接近于x的真实根的近似根x1；

（2） 通过x1求出f(x1)。在几何上就是作x=x1,交f(x)于f(x1);

（3） 过f(x1)作f(x)的切线，交x轴于x2。可以用公式求出x2。由于故

（4） 通过x2求出f(x2)；

（5） 再过f(x2)作f(x)的切线交x轴于x2；

（6） 再通过x3求出f(x3)，…一直求下去，直到接近真正的根。当两次求出的根之差|xn+1-xn|≤ε就认为 xn+1足够接近于真实根。

牛顿迭代公式是：