Question

求函数y=-sinx/(2-cosx) (0<x<π)的最小值

Answer 1

<p>0<x<π
</p>
<p>sinx>0,cosx-2<0</p>
<p>所以y=-sinx/(2-cosx) =sinx/(cosx-2) <0
</p>
<p>y(cosx-2)=sinx</p>
<p>-ycosx+sinx=-2y</p>
<p>√(y^2+1)*cos(x+t)=-2y
</p>
<p>cos(x+t)=-2y/√(y^2+1)</p>
<p>|-2y/√(y^2+1)|<=1
</p>
<p>4y^2/(y^2+1)<=1</p>
<p>4y^2<=(y^2+1)</p>
<p>y^2<=1/3</p>
<p>-√3/3<=y<0 
（y<0见第一步）
</p>
<p>所以y|min=-√3/3</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>另一种用解析几何的方法：</p>
<p>y=-sinx/(2-cosx)=(sinx-0)/(cosx-2)
</p>
<p>y的几何意义表示：动点(cosx,sinx)与定点(2,0)连线的斜率。</p>
<p>动点(cosx,sinx)因为sin²x+cos²x=1的原因，所以就是单位圆上的点
</p>
<p>因为x的取值 (0<x<π)，只有只有上半圆符合</p>
<p>只有当连线在切线位置，斜率才取得最小值。</p>
<p>如有下半圆，则另一条切线位置斜率取得最大值。</p>
<p></p>