扇形面积怎么求

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老张教育新思享
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2022-09-02 · 中小学教师,皖蒙城县双涧中学
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生活体验出真知,死背或强记扇形面积公式,只能得到生吞活剥的东西,只能拿来套着解简单的数学题,有时还套得不合适。

什么叫扇形?你过生日的时候,我们切的蛋糕,是不是经常切一块下来?那个切下来的一块就是扇形。

扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、圆半径相关,圆心角为n°,半径为r的扇形面积为n/360×πr²。如果其顶角采用弧度单位,则可简化为半径乘弧乘1/2(弧长=半径×弧度)。

 扇形面积公式:S扇=(lR)/2(l为扇形弧长)=(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)

  S扇=(n/360)πR²,

  s扇=1/2lr(当知道弧长时)(n为圆心角的度数,R为扇形的半径)

  注:π为圆周率约等于3.1415926535一般取3.14

  R是扇形半径,n是弧所对圆心角度数,π是圆周率,

  也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n

  S=nπR²/360,

  S=1/2LR。 (L为弧长,R为半径)。

扇形还与三角形有相似之处,上述简化的面积公式亦可看成:1/2×弧长×半径,与三角形面积:1/2×底×高相似。

扇形和三角形相比,大体形状很相近。三个顶点、两条边及其夹角都是相同的,不同的是三角形的有条边变成了圆弧。正因为“弧”是曲线,才使得扇形面积在计算、理解和思考方面增加了困难。尽管有困难,但我们相信:既然扇形与三角形的面积公式在数学结构上相同,那两者在本质上就一定有着必然的联系。

如图1,用1个三角形的面积来近似扇形面积,误差比较大。

如图2,把扇形平均分成2个小扇形,用2个三角形面积的和来近似扇形面积,误差就变得小些了。

我们想象,如果把扇形平均分成4个小扇形,用4个三角形面积的和来近似扇形面积,误差就变得更小些了。

我们再想象,如果n足够大,把扇形平均分成n个小扇形,那么用n个三角形面积的和来近似扇形面积,就可以实现足够小的误差。因此:

通过前面的思考、计算过程,可以看出在对比三角形面积公式时,扇形面积公式中的弧相当于底的原因,半径相当于高的原因,看出弧向底转化、半径向高转化、曲线向直线转化和“以直代曲”过程的微妙之处。

这里要说明的是:在以后学到高等数学时,将会理解前面提到的足够近似会变成精确等于。我们在初中阶段进行这样一些基本数学思想和方法的训练,是必要的、重要的。

著名教育家苏霍姆林斯基说过:“要思考,不要死背”。他当校长时,要求教师不仅要教给学生知识,还要加强学生的思维训练,要重视并努力解决“如何让学生学会思考”的问题。

对上面所说2个扇形面积公式,也要重视并努力解决“如何让学生学会思考”的问题。如果死背,就不仅记不牢,而且不能灵活应用。如果经过一番思考的过程,理解了公式的多种推理思想和方法,那就既帮助记忆,又从根本上增加数学能力与数学素养的积累,从而找到了避免机械式题海战术、有效提高数学成绩的正确门道。

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