Question

怎么求曲线在某点处的曲率？

Answer 1

假设曲线为 y=f(x)，曲率圆圆心(a, b)，半径为r；
曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。
首先得出曲率圆方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2；
假设曲线在该点处凹，则b > y，得出 y = b - (r^2 - (x-a)^2)^(1/2) ；
y' = (-1/2)[(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ] * (-2)(x-a) = (x-a) (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ；——A式
y'' = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)*(-1/2)(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)*(-2)(x-a)
= (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)^2(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)
——B式
按理由A、B两式就可以消掉(x-a)，得出一个半径r 的表达式由 y'与y''表示；
但是直接代入消元比较麻烦，可以如下这般代换：
由A知道(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) = y'/(x-a) 代入 B式有：
y'' = y’/(x-a) + (x-a)^2 (y'/(x-a))^3 = y'/(x-a) + y'^3 / (x-a) = (y' + y'^3) / (x-a)
=> (x-a) = (y' + y'^3) / y'' 此式再回过头代入A式中有：
y' = ((y' + y'^3) / y'')(r^2 - ((y' + y'^3) / y'')^2)^(-1/2)
=> r^2 = ((1 + y'^2) / y'')^2 + ((y' + y'^3)
/ y'')^2
= ((1 + y'^2)^3) / (y''^2)
=> r = (1 + y'^2)^(3/2)
/ y''
曲率就是1/r；
有了半径r、法线斜率(-1/y')，就很容易的求出曲率圆的圆心了，继而求出曲率圆的方程。
不知道对你有帮助没有。