Question

已知函数f（x）=cos2ωx+3sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π...

已知函数f（x）=cos2ωx+3sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）若f(θ)=-12，求θ的值； （2）求函数f（x）的单调区间及其图象的对称轴方程．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=cos2ωx+3sinωxcosωx=12（1+cos2ωx）+32sin2ωx=12+sin（2ωx+π6）．
三角函数的周期性及其求法，因为f（x）最小正周期为π，所以
2π2ω=1，解得ω=1，
由题意f(θ)=-12 可得
sin(2θ+π6)+12=-12，sin(2θ+π6)=-1，2θ+π6=2kπ-π2，
所以θ=kπ-π3，k∈Z．
（2）由
2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈z，可得 kπ-π3≤x≤kπ+π6，k∈z，故函数的增区间为[kπ-π3，kπ+π6]，k∈z．
同理，由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈z，可得
kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈z，故函数的减区间为[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈z．
由
2x+π6=kπ+π2，k∈z
得
x=k2π+π6，k∈z．
所以，f（x）图象的对称轴方程为
x=k2π+π6，k∈z．