Question

余同留余,和同加和,差同减差；最小公倍数做周期

Answer 1

余同留余,和同加和,差同减差；最小公倍数做周期
答：
有一种同余问题是：给出一个数除以几个不同的数的余数,反求这个数.
这种同余问题,有数论中称为同余式组,或者说同余方程组.
有些简单的同余方程组,可以用观察法进行解答,利用简单的心算检验,以上口诀就是讲的这类问题.
其实这类问题是十分容易解答的,这个口诀,反而让人一头雾水,没有突显同余式解法的妙处.我私自以为,不记此口诀罢.
网上摘抄：
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数,下面以4、5、6为例,请记住它们的最小公倍数是60.
1、最小公倍作周期：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍.
2、余同取余：用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为：“余同取余”.
例：“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1.
3、和同加和：用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为：“和同加和”.
例：“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7.
4、差同减差：用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为：“差同减差”.
例：“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3.
注：
事实上,就是说,解这类同余问题,所得的某个结果上加减最小公倍数的任意倍,均可以得到他的其他解,进而这种形式可以得到所有的解,即通解；任意某一个结果,可以称为特解.
当同余问题较为简单时,可以观察余数是否相同,如果相同,可以用这一个余数来加上相应的除数的最小公倍数,从而找到针对这些除数的解；如果余数不同,可以在余数上分别加减相应的除数的倍数,设法使之相同,相同的话,就按余数相同的方式来处理了.
如果讨论负值倍数与负值的同余数,那么减去倍数就是加上负值倍数,上面的说法就只是加上相应的除数的倍数就行了.并且加法就已经相当于“代数和”,就已经包含了减法了.
例如,一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,我们在各个余数上分别减去除数,得到
一个数除以4余-3,除以5余-3,除以6余-3,故这个数除以456的最小公倍数也余-3,故这个数是
-3+60n,这里n是任意整数.
备用：
某除以诸数,各各知余数.欲求某数者,方法见如下.
余数加减其除数,题目结论无影响.设法变换使相同,相同之数即为解.