Question

重心的性质及证明是什么?

Answer 1

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH‖BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH‖BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

其他

1、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

2、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

3、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。