Question

燕尾定理的证明过程是什么？

Answer 1

燕尾定理证明过程：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有：

S△AOB∶S△AOC=BD∶CD。

S△AOB∶S△COB=AE∶CE。

S△BOC∶S△AOC=BF∶AF。

因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一，是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。

燕尾定理的证明方法：

利用分比性质(若a÷b=c÷d，则（a-b）÷b=（c-d）÷d,b≠0，d≠0,）。

注：∵（a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1,(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1,a/b=c/d。

（a-b）÷b=（c-d）÷dABD与△ACD同高S△ABD：S△ACD=BD：CD。

同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD。

利用分比性质，得S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD。

即S△AOB：S△AOC=BD：CD。

命题得证。（由此可得：若X：Y=a∶b，X1∶Y1=a∶b；则（X±X1）：（Y±Y1）=a∶b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1）。