Question

(1+x)^1/x的极限为什么是e？

Answer 1

将重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限

lim x→∞,(1+x)^(1/x) 

=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))] 

=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)] 

其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)

=lim x→∞,[ln(1+x)]/x ∞/∞型，

使用洛必达法则，上下同时求导，得到 lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0 

所以e的指数部分极限是0。

原式=limx->0(e^x/x - 1/x)

=limx->0(e^x - 1)/x

=1

相关如下

举例：

limx→0[(1+x)^1/x-e]/x

原极限=lim(x→0) [(1+x)^1/x-e]/x

=lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x （把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e）

=lim(x→0) e*[ln(x+1)-x]/x^2 （x→0时,有e^x-1~x）

=-e/2。

Answer 2

(1+x)^(1/x)的极限为e。

这个问题涉及到极限的求解，可以用数学方法来证明。

首先，我们将(1+x)^(1/x)写成指数形式：e^(ln(1+x)/x)。

接下来，我们用极限的定义来求解这个极限：

lim(x0) e^(ln(1+x)/x)

由于e^u的导数是e^u，所以我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。

首先求导：

d/dx ln(1+x) = 1/(1+x)

然后计算当x0时ln(1+x)的极限：

lim(x0) ln(1+x) = ln(1) = 0

接下来，计算当x0时(1+x)的极限：

lim(x0) (1+x) = 1

现在我们可以使用洛必达法则：

lim(x0) e^(ln(1+x)/x) = e^(0/1) = e^0 = 1

所以，(1+x)^(1/x)的极限为1。

然而，这里的计算结果是不准确的，因为我们使用了洛必达法则的一个前提条件：极限存在。在这个问题中，我们实际上不能直接使用洛必达法则，因为极限的形式为0/0，需要通过其他方法来求解。

通过数学的严格证明，我们可以得到(1+x)^(1/x)的极限为e。这是因为当x趋近于0时，(1+x)^(1/x)的极限确实趋近于e。

Answer 3

(1+x)^(1/x)的极限为e。

这个问题涉及到极限的求解，可以用数学方法来证明。

首先，我们将(1+x)^(1/x)写成指数形式：e^(ln(1+x)/x)。

接下来，我们用极限的定义来求解这个极限：

lim(x0) e^(ln(1+x)/x)

由于e^u的导数是e^u，所以我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。

首先求导：

d/dx ln(1+x) = 1/(1+x)

然后计算当x0时ln(1+x)的极限：

lim(x0) ln(1+x) = ln(1) = 0

接下来，计算当x0时(1+x)的极限：

lim(x0) (1+x) = 1

现在我们可以使用洛必达法则：

lim(x0) e^(ln(1+x)/x) = e^(0/1) = e^0 = 1

所以，(1+x)^(1/x)的极限为1。

然而，这里的计算结果是不准确的，因为我们使用了洛必达法则的一个前提条件：极限存在。在这个问题中，我们实际上不能直接使用洛必达法则，因为极限的形式为0/0，需要通过其他方法来求解。

通过数学的严格证明，我们可以得到(1+x)^(1/x)的极限为e。这是因为当x趋近于0时，(1+x)^(1/x)的极限确实趋近于e。

Answer 4

因为原式是1的无穷次方不定式可以变成e的指数形式
（1+x）^(1/x)就等于e^((1/x)ln(1+x))，然后运用等价无穷小ln(1+x)~x
原式就等价于e^((1/x)x)=e^1=e

Answer 5

要求解极限 (1 + x)^(1/x) 当 x 趋近于 0 时的值，我们可以使用数学中的极限性质以及一些数学工具来证明。
首先，我们将问题转化为指数的形式。将 (1 + x)^(1/x) 改写为 e 的某个指数次幂：
(1 + x)^(1/x) = e^(ln((1 + x)^(1/x)))
接下来，我们用极限性质对指数函数的底数 e 进行处理。根据极限的定义，当 x 趋近于 0 时，(1 + x) 也趋近于 1，因此 ln(1 + x) 当 x 趋近于 0 时也趋近于 0。
利用极限性质 lim(x→0) ln(1 + x) = 0，我们可以得到：
lim(x→0) e^(ln((1 + x)^(1/x))) = e^(lim(x→0) ln((1 + x)^(1/x)))
接下来，我们需要处理指数中的 (1 + x)^(1/x) 部分。我们可以使用极限的性质来处理它。
令 t = 1/x，当 x 趋近于 0 时，t 趋近于正无穷。则原极限可以改写为：
lim(t→∞) e^(ln((1 + 1/t)^t))
继续利用极限性质，我们有：
lim(t→∞) (1 + 1/t)^t = e
因此，原极限可以进一步简化为：
lim(t→∞) e^(ln((1 + 1/t)^t)) = e^ln(e) = e^1 = e
所以，当 x 趋近于 0 时，(1 + x)^(1/x) 的极限值是 e。