Question

高数怎么理解p级数？

1/n从1加到∞，这个数不是增加得越来越慢了吗？到后面就无穷趋近于某一个数了啊，怎么会是发散呢？

Answer 1

是无限个无穷小相加，

可以用反证法证明其是发散的

Answer 2

p级数 形如 1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+…（p>0）的级数称为p级数。当p=1时，得到著名的调和级数：1+1/2+1/3+…+1/n+…p级数是重要的正项级数，它是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数。p级数的敛散性如下：当p>1时，p级数收敛；当1≥p>0时，p级数发散。交错p级数 形如 1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…+（-1）^(n-1)*1/n^p+…（p>0）的级数称为交错p级数。交错p级数是重要的交错级数。交错p级数的敛散性如下：当p>1时，交错p级数绝对收敛；当1≥p>0时，交错p级数条件收敛。例如，交错调和级数1-1/2+1/3-1/4+...

Answer 3

何以见得趋近于某一数 ？ 本科《高等数学》教材上一般都有证明，是无穷大。
也可以这样理解。 在区间 [1, +∞) 曲线 y = 1/x 与 x 轴所围面积
S = ∫<1, +∞>(1/x)dx = [lnx]<1, +∞> = +∞

追问

可是当n趋于∞，1/∞=0啊，数不是越来越小吗？书上的面积证明看了，但还是想不通，为什么一个数越来越小，到后面加的数微乎其微，它最后不是趋于某个数的吗？

追答

增加的数是越来越小， 但这种情况总量还是无穷大。

如果是 p > 1，则收敛， 即总和趋近于某值

追问

抱歉.......我还是有点不理解；p=1时：1+1/2+1/3+.....+1/∞；P＞1时，设p=2时，1+1/4+1/8+...+1/∞；当p=2时，数变小的趋势只是比p=1时更快，后面也越加越小；为什么p=1就不是收敛呢？

追答

不要光凭想象， 看看书上证明。